烟台成人高考专科起点《高等数学》模拟试题03

2012年成人高考数学模拟题3

         本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：锥体体积公式V= Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

         线性回归方程 中系数计算公式

       样本数据x1,x2,……，xa的标准差，

         其中 表示样本均值。

         N是正整数，则

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则                                                       

         A．-i                              B．i                              C．-1                            D．1

2．已知集合A= 为实数，且 ，B= 且 则A B的元素个数为

         A．4                         B．3                        C．2                     D．1

3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若 为实数，（ ），则 =

         A．                             B．                              C．1                                  D．2

4．函数 的定义域是

         A．                                                               B．（1，+ ）

         C．（-1，1）∪（1，+∞）                                     D．（- ，+ ）

5．不等式2x2-x-1>0的解集是

         A．                                                                      B．（1， + ）  

         C．（- ，1）∪（2，+ ）                                 D．

6．已知平面直角坐标系 上的区域D由不等式   给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为 ，则z= · 的最大值为

         A．3                                 B．4                                 C．3                          D．4

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有

         A．20                               B．15                                C．12                               D．10

8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为

         A．抛物线                    B．双曲线                   C．椭圆                       D．圆

9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为

         A．                        B．4                              C．                       D．2

10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数 和 ；对任意x ∈ ，（f·g）（x）= ；（f·g）（x）= ．则下列恒等式成立的是

         A．

         B．

         C．

         D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11．已知 是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=­______

12．设函数 ,若 ,则f（-a）=_______

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：

时间

1

2

3

4

5

命中率

0．4

0．5

0．6

0．6

0．4

         小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．

（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 （0 < ）和 （t ），它们的交点坐标为             。

15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分为12分）

         已知函数 ， R。

（1）求 的值；

（2）设 ，f（3 ）= ,f（3 +2 ）= ．求sin（   ）的值

17．（本小题满分13分）

         在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n

1

2

3

4

5

成绩xn

70

76

72

70

72

（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。

18．（本小题满分13分）

         图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为 , , , 的中点， 分别为 的中点．

（1）证明： 四点共面；

（2）设G为A A′中点，延长 到H′，使得 ．证明：

19．（本小题满分14分）

         设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。

20．（本小题满分14分）

         设b>0，数列 }满足a1=b,

（1）求数列 的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，2a b +1

21．（本小题满分14分）

         在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点A，设 是 上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足 ∠MPO=∠AOP

（1）当点P在 上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求 + 的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线 的斜率k的取值范围。

参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。

A卷：1—5DBCBA    6—10CADCB

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。

11．2   12．-9    13．0.5，0.53    14．      15．7：5

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

         解：（1）

         ；

   （2）

         故

17．（本小题满分13分）

         解：（1）

         ，

   （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

         {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，

         选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：

         {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，

         故所求概率为

18．（本小题满分13分）

         证明：（1） 中点，   

         连接BO2

         直线BO2是由直线AO1平移得到

         共面。

   （2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接

//

         由平移性质得 =HB

19．（本小题满分14分）

         解：函数 的定义域为

         当 的判别式

         ①当 有两个零点，

         且当 内为增函数；

         当 内为减函数；

         ②当 内为增函数；

         ③当 内为增函数；

         ④当

         在定义域内有唯一零点 ，

         且当 内为增函数；当 时， 内为减函数。                                               的单调区间如下表：

   （其中 ）

20．（本小题满分14分）

         解：（1）由

         令

         当

         ①当

         ②当 时，

   （2）当

         只需

         综上所述

21．（本小题满分14分）

         解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

         因此 即

                                                       ①

         另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

         MQ为线段OP的垂直平分线，

         又

         因此M在 轴上，此时，记M的坐标为

         为分析 的变化范围，设 为 上任意点

         由

   （即 ）得，

         故 的轨迹方程为

                                                                          ②

         综合①和②得，点M轨迹E的方程为

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：

         ；

         当 时，过Ｔ作垂直于 的直线，垂足为 ，交E1于 。

         再过H作垂直于 的直线，交

         因此， （抛物线的性质）。

         （该等号仅当 重合（或H与D重合）时取得）。

         当 时，则

         综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

   （3）由图3知，直线 的斜率 不可能为零。

         设

         故 的方程得：

         因判别式

         所以 与E中的E1有且仅有两个不同的交点。

         又由E2和 的方程可知，若 与E2有交点，

         则此交点的坐标为 有唯一交点 ，从而 表三个不同的交点。

         因此，直线 的取值范围是