烟台成人高考专科起点《高等数学》模拟试题05

2012年成人高考数学模拟题5

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x }，B={x }}，则A B=

       A．{x }                                            B．{x }            

       C．{x }                                            D．{x }

2． 为虚数单位，

       A．0                         B．2                         C．                      D．4

3．已知向量 ， ， ，则

       A．                     B．                       C．6                          D．12

4．已知命题P： n∈N，2n＞1000，则 P为

       A． n∈N，2n≤1000                              B． n∈N，2n＞1000

       C． n∈N，2n≤1000                              D． n∈N，2n＜1000

5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为

       A．2                     B．4                     C．8                       D．16

6．若函数 为奇函数，则a=

       A．                       B．                     C．                      D．1

7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点， ，则线段AB的中点到y轴的距离为

       A．                        B．1                         C．                         D．

8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它的三视图中的俯视图

如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是

       A．4                     B．            C．2                         D．

9．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是

       A．8

       B．5

       C．3

       D．2

10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，

∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为

       A．                     B．

       C．                  D．

11．函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，

则 的解集为

       A．（ ，1）            B．（ ，+ ）        

       C．（ ， ）         D．（ ，+ ）

12．已知函数 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的

部分图像如下图，则

       A．2+                 B．

       C．                    D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．

14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程： ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．

15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．

16．已知函数 有零点，则 的取值范围是___________．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A= a．

（I）求 ；

（II）若c2=b2+ a2，求B．

18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

品种甲

403

397

390

404

388

400

412

406

品种乙

419

403

412

418

408

423

400

413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据 的的样本方差 ，其中 为样本平均数．

20．（本小题满分12分）

设函数 =x+ax2+blnx，曲线y= 过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．

（I）求a，b的值；

（II）证明： ≤2x-2．

21．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

（I）设 ，求 与 的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．

（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （ 为参数），曲线C2的参数方程为 （ ， 为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ= 与C1，C2各有一个交点．当 =0时，这两个交点间的距离为2，当 = 时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当 = 时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当 = 时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数 =|x-2| x-5|．

（I）证明： ≤ ≤3；

（II）求不等式 ≥x2 x+15的解集．

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4．只给整数分数，选择题不给中间分.

一、选择题

1—5 DADAB    6—10 ACBCC    11—12 BB

二、填空题

13．

14．0.254

15．—1

16．

三、解答题

17．解：（I）由正弦定理得， ，即

故    ………………6分

   （II）由余弦定理和

由（I）知 故

可得    …………12分

18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD，则PQ⊥QD

所以PQ⊥平面DCQ.   ………………6分

   （II）设AB=a.

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积

由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ= ，△DCQ的面积为 ，

所以棱锥P—DCQ的体积为

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A=“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；

（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.

而事件A包含1个基本事件：（1，2）.

所以    ………………6分

   （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

                                              ………………8分

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

                                             ………………10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

20．解：（I）    …………2分

由已知条件得

解得    ………………5分

   （II） ，由（I）知

设 则

而    ………………12分

21．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

设直线 ，分别与C1，C2的方程联立，求得

   ………………4分

当 表示A，B的纵坐标，可知

   ………………6分

   （II）t=0时的l不符合题意. 时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN­相等，即

解得

因为

所以当 时，不存在直线l，使得BO//AN；

当 时，存在直线l使得BO//AN.   ………………12分

22．解：

   （I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.

故∠ECD=∠EBA，

所以CD//AB.  …………5分

   （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，

又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.

所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A，B，G，F四点共圆   …………10分

23．解：

   （I）C1是圆，C2是椭圆.

    当 时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.

    当 时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.

   （II）C1，C2的普通方程分别为

    当 时，射线l与C1交点A1的横坐标为 ，与C2交点B1的横坐标为

当 时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，

四边形A1A2B2B1为梯形.

故四边形A1A2B2B1的面积为    …………10分

24．解：

   （I）

    当

    所以    ………………5分

   （II）由（I）可知，

    当 的解集为空集；

    当 ；

    当 .

    综上，不等式   …………10分