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2012年成人高考数学模拟题2
本试卷共5页,150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集U=R,集合P={x︱x2≤1},那么
A.(-∞, -1] B.[1, +∞)
C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)
2.复数
A.i B.-i C. D.
3.如果 那么
A.y< x<1 B.x< y<1
C.1< x<y D.1<y<x
4.若p是真命题,q是假命题,则
A.p∧q是真命题
B.p∨q是假命题
C.﹁p是真命题
D.﹁q是真命题
5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是
A.32
B.16+16
C.48
D.16+32
6.执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输入的P值为
A.2 B.3
C.4 D.5
7.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
8.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y = x的图像上,则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 中.若b=5, ,sinA= ,则a=___________________.
10.已知双曲线 ( >0)的一条渐近线的方程为 ,则 = .
11.已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ).若a-2b与c共线,则k=________________.
12.在等比数列{an}中,a1= ,a4=4,则公比q=______________;a1+a2+…+an= _________________.
13.已知函数 若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是_______
14.设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(t R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N(0)= N(t)的所有可能取值为
三、解答题6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期:
(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值.
16.(本小题共13分)
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.
(1)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
(注:方差 其中 为 的平均数)
17.(本小题共14分)
如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥平面BCP;
(Ⅱ)求证:四边形DEFG为矩形;
(Ⅲ)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.
18.(本小题共13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)求 在区间[0,1]上的最小值.
19.(本小题共14分)
已知椭圆 的离心率为 ,右焦点为( ,0),斜率为I的直线 与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(I)求椭圆G的方程;
(II)求 的面积.
20.(本小题共13分)
若数列 满足 ,则称 为 数列,记 .
(Ⅰ)写出一个E数列A5满足 ;
(Ⅱ)若 ,n=2000,证明:E数列 是递增数列的充要条件是 =2011;
(Ⅲ)在 的E数列 中,求使得 =0成立得n的最小值.
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)D (2)A (3)D (4)D
(5)B (6)C (7)B (8)A
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10)2
(11)1 (12)2
(13)(0,1) (14)6 6,7,8,
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)因为
所以 的最小正周期为
(Ⅱ)因为
于是,当 时, 取得最大值2;
当 取得最小值—1.
(16)(共13分)
解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,
所以平均数为
方差为
(Ⅱ)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),
(A3,B1),(A2,B2),(A3,B3),(A1,B4),
(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),
用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为
(17)(共14分)
证明:(Ⅰ)因为D,E分别为AP,AC的中点,
所以DE//PC。
又因为DE 平面BCP,
所以DE//平面BCP。
(Ⅱ)因为D,E,F,G分别为
AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE//PC//FG,DG//AB//EF。
所以四边形DEFG为平行四边形,
又因为PC⊥AB,
所以DE⊥DG,
所以四边形DEFG为矩形。
(Ⅲ)存在点Q满足条件,理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点
由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG= EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN。
与(Ⅱ)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线点为EG的中点Q,
且QM=QN= EG,
所以Q为满足条件的点.
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)
令 ,得 .
与 的情况如下:
x
( )
(
——
0
+
↗
↗
所以, 的单调递减区间是( );单调递增区间是
(Ⅱ)当 ,即 时,函数 在[0,1]上单调递增,
所以 (x)在区间[0,1]上的最小值为
当 时,
由(Ⅰ)知 上单调递减,在 上单调递增,所以 在区间[0,1]上的最小值为 ;
当 时,函数 在[0,1]上单调递减,
所以 在区间[0,1]上的最小值为
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)由已知得
解得
又
所以椭圆G的方程为
(Ⅱ)设直线l的方程为
由 得
设A、B的坐标分别为 AB中点为E ,
则
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB.
所以PE的斜率
解得m=2。
此时方程①为
解得
所以
所以|AB|= .
此时,点P(—3,2)到直线AB: 的距离
所以△PAB的面积S=
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)0,1,0,1,0是一具满足条件的E数列A5.
(答案不唯一,0,—1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,—1,—2;0,±1,0,—1,
—2,0,±1,0,—1,0都是满足条件的E的数列A5)
(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,
所以 .
所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由于a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—at≤19999,即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故 是递增数列.
综上,结论得证.
(Ⅲ)对首项为4的E数列Ak,由于
……
……
所以
所以对任意的首项为4的E数列Am,若
则必有 .
又 的E数列
所以n是最小值是9.