烟台成人高考专科起点《高等数学》模拟试题08

模拟试卷（二）

一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

  *1. 函数 在点 不连续是因为（    ）

    A.           B.

    C. 不存在            D. 不存在

    答案：C        不存在。

  2. 设 为连续函数，且 ，则下列命题正确的是（    ）

    A. 为 上的奇函数

    B. 为 上的偶函数

    C. 可能为 上的非奇非偶函数

    D. 必定为 上的非奇非偶函数

  *3. 设有单位向量 ，它同时与 及 都垂直，则 为（    ）

    A.            B.

    C.            D.

    解析：

    ，应选C。

  4. 幂级数 的收敛区间是（    ）

    A.           B.           C.          D.

  *5. 按照微分方程通解的定义， 的通解是（    ）

    A.                  B.

    C.                     D.

    （其中 是任意常数）

    解析： ，故选A。

二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

  6. 设 为连续函数，则 ___________。

  *7. 函数 的单调递减区间是___________。

    解析：

    当 时， ，故y单调递减，故单调区间是（-2，1）

  8. 设 是 的一个原函数，则 ___________。

  *9. 设 ，则 ___________。

    解析：

  *10. 设 ，其中k为常数，则 ___________。

    解析：

  11. 设 ，则 ___________。

  *12. 微分方程 的通解为___________。

    解析：方程改写为 ，两边积分得：

    即

  13. 点 到平面 的距离 ___________。

  *14. 幂级数 的收敛区间是___________（不含端点）。

    解析： ，收敛半径

    由 得： ，故收敛区间是（-3，5）

  15. 方程 的通解是______________________。

三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。

  16. 求极限 。

  *17. 设 ，求 。

    解：

    所以

  *18. 求函数 在区间 上的最大值与最小值。

    解：函数 在 处不可导，

    令 得驻点 ，求得

    于是y在 上的最大值为 ，最小值为

  19. 求不定积分 。

  20. 设 由方程 确定，求 。

  21. 若区域D： ，计算二重积分 。

  *22. 求过三点A（0，1，0），B（1，-1，0），C（1，2，1）的平面方程。

    平面方程为：

    ，即

  *23. 判定级数 的收敛性。

    解：因为 是公比 的等比级数从而收敛，再考察级数

    其中 满足① ，②

    由莱布尼兹判别法知 收敛， 级数 收敛。（两收敛级数之和收敛）

  24. 求方程 的一个特解。

  *25. 证明：

    解：

    又

    由<1>、<2>得：

  26. 设 为连续函数，且 ，求 。

  *27. 设抛物线 过原点（0，0）且当 时， ，试确定a、b、c的值。使得抛物线 与直线 ， 所围成图形的面积为 ，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。

    解：因抛物线 过原点（0，0），有

    依题意，如图所示阴影部分的面积为

    该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

    令 ，得驻点：

    由问题的几何意义可知，当 ，从而 时，旋转体的体积最小，于是所求曲线为

  *28. 求幂级数 的和函数，并由此求级数 的和。

    解：令 ，则 且有

    又

    于是

【试题答案】

一.

  1. C            不存在。

  2. C正确

    例： ，则 在 上非奇非偶，但 。

  3.

    ，应选C。

  4.

    故收敛区间是（-1，1），故选B。

  5. ，故选A。

二.

  6.

  7.

    当 时， ，故y单调递减，故单调区间是（-2，1）

  8.

  9.

  10.

  11.

  12. 方程改写为 ，两边积分得：

    即

  13. 点 到平面 的距离公式为

    所求

  14. ，收敛半径

    由 得： ，故收敛区间是（-3，5）

  15. 特征方程为： ，特征根为

    通解为

三.

  16. 解：

  17. 解：

    所以

  18. 解：函数 在 处不可导，

    令 得驻点 ，求得

    于是y在 上的最大值为 ，最小值为

  19. 解：令 ， ，于是

  20. 解：令 ，则

    于是，

  21. 解：D用极坐标表示为

  22.

    平面方程为：

    ，即

  23. 解：因为 是公比 的等比级数从而收敛，再考察级数

    其中 满足① ，②

    由莱布尼兹判别法知 收敛， 级数 收敛。（两收敛级数之和收敛）

  24. 解：特征方程为 ，特征值

    ，这里 不是特征根，可设特解为：

    代入原方程并整理得：

    解得：

    于是

  25. 解：

    又

    由<1>、<2>得：

  26. 解：令 ，则

    即

    于是

  27. 解：因抛物线 过原点（0，0），有

    依题意，如图所示阴影部分的面积为

    该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

    令 ，得驻点：

    由问题的几何意义可知，当 ，从而 时，旋转体的体积最小，于是所求曲线为

  28. 解：令 ，则 且有

    又

    于是